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[主观题]
数域F上n维向量空间V的一个线性变换σ叫作一个对合变换，如果σ2=t，t是单位变换，设σ是V的一个对合变换。证明：（i)σ的本征值只能是±1;（ii)V=V1⊕V-1，这里V1是σ的属于本征值1的本征子空间，V-1是σ的属于本征值-1的本征子空间。
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设Fn={(x1，x2，...，xn)|xi∈F)是数域F上n维行空间。定义σ(x1，x2，...，xn)=(0，x1，...，xn-1)。
(i)证明：σ是Fn的一个线性变换，且σn=θ;
(i)求Ker(σ)和Im(σ)的维数。
设V是复数域上的n维线性空间，
是V的线性变换，且
证明：
1)如果λ0是
的一特征值，那么
的不变子空间;
2)至少有一个公共的特征向量。
设
是P上n维线性空间V的一个线性变换。
1)证明：对V上的线性函数f，f仍是V上线性函数;
2)定义V*到自身的映射
为
。证明：是V*上的线性变换;
3)设ε1，ε2，...，εn是V的一组基，f1，f2，...，fn是它的对偶基，并设在ε1，ε2，...，εn下的矩阵为A，证明：在f1，f2，...，fn下的矩阵为A'。(因此称作的转置映射。)
设α是欧氏空间V中的一个非零向量，α1，α2，···，αp是V中p个向量，满足
证明：
1)α1，α2，···，αp线性无关;
2)n维欧氏空间中最多有n+1个向量，使其两两夹角都大于π/2。
设
是线性空间V上的可逆线性变换。
1)证明：的特征值一定不为0;
2)证明：如果λ是的特征值，那么1/λ是
的特征值。
设f(x1，...，xn)=X'AX是一实二次型。已知有实n维向量X1，X2使
证明：必存在实n维向量X0≠0，使X0'AX0=0。
是线性空间V的s个两两不同的线性变换，那么在V中必存在向量α，使
也两两不同。
是线性空间V上的线性变换，如果
，但
，求证
线性无关。
