设σ是n维欧氏空间V的一个线性变换,证明如果σ满足下列三个条件中的任意两个,那么它必须满足第三个:(i)σ是正交变换;(ii)σ是对称变换;(iii)σ2=τ是单位变换。
设V是一个n维欧氏空间。证明:
(i)如果W是V的一个子空间,那么
(ii)如果W1,W2都是V的子空间,且
(iii)如果W1,W2都是V的子空间,那么
设V是复数域上的n维线性空间,是V的线性变换,且证明:
1)如果λ0是的一特征值,那么的不变子空间;
2)至少有一个公共的特征向量。
设α是欧氏空间V中的一个非零向量,α1,α2,···,αp是V中p个向量,满足
证明:
1)α1,α2,···,αp线性无关;
2)n维欧氏空间中最多有n+1个向量,使其两两夹角都大于π/2。
设是P上n维线性空间V的一个线性变换。
1)证明:对V上的线性函数f,f仍是V上线性函数;
2)定义V*到自身的映射为。证明:是V*上的线性变换;
3)设ε1,ε2,...,εn是V的一组基,f1,f2,...,fn是它的对偶基,并设在ε1,ε2,...,εn下的矩阵为A,证明:在f1,f2,...,fn下的矩阵为A'。(因此称作的转置映射。)
设是欧氏空间V的一个变换。证明:如果保持内积不变,即对于α,β∈V,,那么它一定是线性的,因而它是正交变换。
设Fn={(x1,x2,...,xn)|xi∈F)是数域F上n维行空间。定义σ(x1,x2,...,xn)=(0,x1,...,xn-1)。
(i)证明:σ是Fn的一个线性变换,且σn=θ;
(i)求Ker(σ)和Im(σ)的维数。
设ε1,ε2,...,εn是线性空间V的一组基,是V上的线性变换,证明:可逆当且仅当线性无关。
设α1,α2,...,αn是欧氏空间V的一组基,证明:
1)如果γ∈V使(γ,αi)=0,i=1,2,...,n,那么γ=0;
2)如果γ1-γ2∈V使对任一α∈V有(γ1,α)=(γ2,α),那么γ1=γ2。
设是线性空间V上的可逆线性变换。
1)证明:的特征值一定不为0;
2)证明:如果λ是的特征值,那么1/λ是的特征值。