Python判断Abundant Number的方法

Abundant Number是指一个正整数，其因子之和大于该数本身。例如，12的因子为1、2、3、4、6、12，因子之和为28，大于12本身。Python是一种流行的编程语言，可以方便地判断一个数是否为Abundant Number。本文将从多个角度介绍Python判断Abundant Number的方法。

1.暴力枚举法

暴力枚举法是最简单的判断Abundant Number的方法。首先，需要计算一个数的因子。可以使用循环从1到这个数本身，依次判断这些数是否是该数的因子。如果是，就将它们相加。最后，判断因子之和是否大于该数本身即可。

代码如下：

```python

def isAbundant(num):

factors = [1]

for i in range(2, num):

if num % i == 0:

factors.append(i)

return sum(factors) > num

print(isAbundant(12)) # True

print(isAbundant(20)) # False

```

该方法的时间复杂度为O(n)，其中n为该数本身。因此，对于大数，该方法的效率非常低。

2.优化枚举法

暴力枚举法的效率低，主要是因为计算了一些不必要的因子。例如，对于12来说，如果已经计算出了2和6是它的因子，那么剩下的因子就是3和4。因此，在计算因子时，可以只计算到该数的平方根，这样就可以减少计算量。

代码如下：

```python

def isAbundant(num):

factors = [1]

for i in range(2, int(num ** 0.5) + 1):

if num % i == 0:

factors.append(i)

if i != num // i:

factors.append(num // i)

return sum(factors) > num

print(isAbundant(12)) # True

print(isAbundant(20)) # False

```

该方法的时间复杂度为O(sqrt(n))，其中n为该数本身。因此，对于大数，该方法的效率比暴力枚举法高。

3.使用set去重

在计算因子时，可能会出现重复的因子，例如12的因子为1、2、3、4、6、12，其中2和6就是重复的。因此，在计算因子之和时，可以使用set去重。

代码如下：

```python

def isAbundant(num):

factors = set([1])

for i in range(2, int(num ** 0.5) + 1):

if num % i == 0:

factors.add(i)

if i != num // i:

factors.add(num // i)

return sum(factors) > num

print(isAbundant(12)) # True

print(isAbundant(20)) # False

```

该方法的时间复杂度与第二种方法相同，但使用了set可以去重，提高了效率。

4.使用质因数分解

质因数分解是将一个数分解为多个质数的乘积。例如，12可以分解为2 * 2 * 3。在计算因子时，可以使用质因数分解的方法，先将一个数分解为质因数，然后再计算因子之和。例如，12可以分解为2 * 2 * 3，因子之和为(1 + 2 + 4 + 8) * (1 + 3) = 28，大于12本身。

代码如下：

```python

def factorize(num):

factors = []

i = 2

while i <= num:

if num % i == 0:

factors.append(i)

num //= i

else:

i += 1

return factors

def isAbundant(num):

factors = factorize(num)

unique_factors = set(factors)

total = 1

for f in unique_factors:

count = factors.count(f)

total *= sum([f ** i for i in range(count + 1)])

return total - num > num

print(isAbundant(12)) # True

print(isAbundant(20)) # False

```

该方法的时间复杂度取决于质因数分解的复杂度，一般情况下为O(sqrt(n))，其中n为该数本身。因此，对于大数，该方法的效率比前面的方法高。

5.使用欧拉定理

欧拉定理是一个重要的数论定理，可以用来判断一个数是否为Abundant Number。该定理的表述如下：

如果a和m是互质的正整数，则a^(φ(m)) ≡ 1 (mod m)，其中φ(m)表示小于m且与m互质的正整数的个数。

根据该定理，如果一个数n可以表示为n = p1^k1 * p2^k2 * ... * pn^kn，其中pi为质数，ki为正整数，则它的因子之和可以表示为(1 + p1 + p1^2 + ... + p1^k1) * (1 + p2 + p2^2 + ... + p2^k2) * ... * (1 + pn + pn^2 + ... + pn^kn)。因此，只需要判断n是否满足该式即可。

代码如下：

```python

def factorize(num):

factors = []

i = 2

while i <= num:

if num % i == 0:

factors.append(i)

num //= i

else:

i += 1

return factors

def isAbundant(num):

factors = factorize(num)

unique_factors = set(factors)

total = 1

for f in unique_factors:

count = factors.count(f)

total *= (f ** (count + 1) - 1) // (f - 1)

return total - num > num

print(isAbundant(12)) # True

print(isAbundant(20)) # False

```

该方法的时间复杂度与前面的方法相同，但使用了欧拉定理可以减少计算量，提高了效率。