设α1,α2,···,αn,β都是一个欧氏空间的向量,且β是α1,α2,···,αn的线性组合。证明如果β与每一个αi正交,i=1,2,...,n,那么β=0。
设α是欧氏空间V中的一个非零向量,α1,α2,···,αp是V中p个向量,满足
证明:
1)α1,α2,···,αp线性无关;
2)n维欧氏空间中最多有n+1个向量,使其两两夹角都大于π/2。
设f(x),g(x)∈P[x].m(x)∈P[x]叫f(x),g(x)的最小公倍式,如果m(x)满足下面条件:
试证:
1)f(x),g(x)的最小公倍式存在,且除一个非零常数因子外是唯一一的。
2)以[f(x),g(x)]表示f(x),g(x)的首项系数为1的最小公倍式,若f(x),g(x)都是首一的,则[f(x),g(x)](f(x),g(x))=f(x)g(x).
3)设
为f(x).g(x)的标准分解,则
设α1=(1,2,-1),α2=(0,-1,3),α3=(1,-1,0),β1=(2,1,5),β2=(-2,3,1),β3=(1,3,2)。证明{α1,α2,α3}和{β1,β2,β3}都是R3的基,求前者到后者的过渡矩阵。
设是P上n维线性空间V的一个线性变换。
1)证明:对V上的线性函数f,f仍是V上线性函数;
2)定义V*到自身的映射为。证明:是V*上的线性变换;
3)设ε1,ε2,...,εn是V的一组基,f1,f2,...,fn是它的对偶基,并设在ε1,ε2,...,εn下的矩阵为A,证明:在f1,f2,...,fn下的矩阵为A'。(因此称作的转置映射。)
设a1,a2,...,an是n个不同的数,而F(x)=(x-a1)(x-a2)...(x-an),b1,b2,...,bn是任意n个数,显然适合条件L(ai)=bi,i=1,2,...,n。这称为拉格朗日(Lagrange)插值公式。
利用上面的公式求:
1)一个次数<4的多项式f(x),它适合条件:f(2)=3,f(3)=-1,f(4)=0,f(5)=2。
2)一个二次多项式f(x),它在x=0,2/π,π处与函数sinx有相同的值。
3)一个次数尽可能低的多项式f(x),使f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5,f(3)=10。
设V是复数域上的n维线性空间,是V的线性变换,且证明:
1)如果λ0是的一特征值,那么的不变子空间;
2)至少有一个公共的特征向量。
设G是一个有n个顶点的有向图,从顶点i发出的边的最大费用记为max(i).
(1)证明旅行售货员回路的费用不超过.
(2)在旅行售货员问题的回溯法中,用上面的界作为bestc的初始值,重写该算法,并尽可能地简化代码.
设单位负反馈系统的开环传递函数为
(1)绘制系统的根轨迹(不要求求出分离点);
(2)已知系统的一个闭环极点为-0.9,试求出其余的闭环极点;
(3)该系统是否可以用低阶系统来近似?若能,求出它的闭环传递函数,若不能,给出理由。