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c++求素数

周雨         优草派

素数是指在大于1的自然数中,除了1和本身,没有其他因数的自然数。素数在数学和计算机科学中都有着重要的应用。在计算机科学中,求素数是一个经典的问题,也是算法设计和优化的重要研究方向。

本文将从多个角度分析如何用C++求素数,包括素数的定义、素数的判定方法、C++中的求素数算法以及优化策略等。

c++求素数

素数的定义

素数是指在大于1的自然数中,除了1和本身,没有其他因数的自然数。比如2、3、5、7、11、13等就是素数,而4、6、8、9、10、12等就不是素数。

素数的判定方法

判断一个数是否为素数,最简单的方法就是试除法。即将这个数除以2到它的平方根之间的所有自然数,如果都无法整除,那么就是素数。代码如下:

bool isPrime(int n) {

if (n <= 1) return false;

for (int i = 2; i * i <= n; i++) {

if (n % i == 0) return false;

}

return true;

}

C++中的求素数算法

C++中有多种求素数的算法,常见的有埃氏筛法、欧拉筛法、线性筛法等。

埃氏筛法的思路是先将所有数标记为素数,然后从2开始,将所有2的倍数标记为合数,再从3开始,将所有3的倍数标记为合数,以此类推,直到sqrt(n)。最后,所有未标记的数就是素数。代码如下:

vector sieve(int n) {

vector primes;

vector isPrime(n + 1, true);

for (int i = 2; i * i <= n; i++) {

if (isPrime[i]) {

for (int j = i * i; j <= n; j += i) {

isPrime[j] = false;

}

}

}

for (int i = 2; i <= n; i++) {

if (isPrime[i]) primes.push_back(i);

}

return primes;

}

欧拉筛法是对埃氏筛法的优化。它的思路是先将所有数标记为素数,然后从2开始,将所有2的倍数标记为合数,同时将所有2的倍数的质因子2去掉,再从3开始,将所有3的倍数标记为合数,同时将所有3的倍数的质因子3去掉,以此类推,直到sqrt(n)。最后,所有未标记的数就是素数。代码如下:

vector sieve(int n) {

vector primes;

vector isPrime(n + 1, true);

for (int i = 2; i <= n; i++) {

if (isPrime[i]) primes.push_back(i);

for (int j = 0; j < primes.size() && i * primes[j] <= n; j++) {

isPrime[i * primes[j]] = false;

if (i % primes[j] == 0) break;

}

}

return primes;

}

线性筛法是对欧拉筛法的进一步优化。它的思路是先将所有数标记为素数,同时将所有素数存入一个数组中。然后对于每个合数,找到它最小的质因子,将它标记为合数,并将它乘上它的最小质因子得到下一个合数。这样,每个合数只会被它的最小质因子筛掉一次,而每个数都只会被它的最小质因子筛掉一次,时间复杂度为O(n)。代码如下:

vector sieve(int n) {

vector primes;

vector minPrime(n + 1, 0);

for (int i = 2; i <= n; i++) {

if (minPrime[i] == 0) {

minPrime[i] = i;

primes.push_back(i);

}

for (int j = 0; j < primes.size() && primes[j] <= minPrime[i] && i * primes[j] <= n; j++) {

minPrime[i * primes[j]] = primes[j];

}

}

return primes;

}

优化策略

求素数是一个经典的问题,也是算法设计和优化的重要研究方向。下面简要介绍几种优化策略。

1. 去除偶数。素数除了2以外,都是奇数。因此,可以先判断2,然后只对奇数进行判断。

2. 减小判定范围。对于一个数n,如果它不是素数,那么它的质因子一定小于等于sqrt(n)。因此,只需要对2到sqrt(n)之间的数进行判断,可以减小判定范围。

3. 使用位运算。位运算比算术运算更快。可以使用位运算来代替除法和取模运算,从而提高效率。

4. 多线程并发。在多核CPU上,可以使用多线程并发来加速求素数的过程。

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